Elektrotechnik (Teil 3/3)

Luft- und Raumfahrttechnik Bachelor, 1. Semester

David Straub

Elektrotechnik – Straub

Gliederung des Kurses

  1. Einführung (Physikalische Größen, Einheiten)
  2. Das elektrische Feld (Ladungen, Kräfte, Felder, Potential, Spannung, Kapazität, Kondensatoren)
  3. Gleichstrom (Stromstärke, Widerstand, Stromkreisberechnungen, Energie, Leistung)
  4. Magnetismus (Feld in Vakuum und Materie, Kräfte, magnetischer Kreis)
  5. Elektromagnetische Induktion (Induktion, Selbstinduktion, Energie)
  6. Wechselstrom (Komplexe Wechselstromrechnung, Schaltungen, Leistung)
  7. Drehstrom (Dreiphasensystem)
  8. Schaltvorgänge an Kapazitäten und Induktivitäten
Elektrotechnik – Straub

Wechselstrom

Elektrotechnik – Straub

Wechselstrom: Grundlagen

Periodische Größen:

  • Sich zeitlich wiederholende physikalische Größen
  • Periodendauer ->
  • Frequenz: , Kreisfrequenz:

Wechselgrößen:

Periodische elektrische Größen mit verschwindendem arithmetischem Mittelwert

Elektrotechnik – Straub

Wechselgrößen: Eigenschaften

Fourier-Analyse: Jede Wechselgröße kann als Überlagerung von Sinusvorgängen dargestellt werden

Elektrotechnik – Straub

Arithmetischer Mittelwert

Definition:

Für sinusförmige Wechselgrößen:

Gilt:

Der arithmetische Mittelwert einer sinusförmigen Wechselgröße ist immer null.

Elektrotechnik – Straub

Gleichrichtwert

Definition:

Für sinusförmige Wechselgrößen:

Der Gleichrichtwert entspricht dem Mittelwert des Betrags der Wechselgröße.

Elektrotechnik – Straub

Effektivwert: Definition

Physikalischer Hintergrund:

  • Derjenige Wert einer Wechselgröße, der in seiner Wirkung bei Energieumformung einem Gleichstrom entspricht

Beispiel:

Allgemeine Definition:

Elektrotechnik – Straub

Effektivwert für Sinusschwingungen

Für sinusförmige Wechselgrößen:

Herleitung:

Ergebnis:

Elektrotechnik – Straub

Effektivwert: Beispiele

Netzspannung:

  • ③
  • ①

Haushaltssicherung:

  • ③
  • ①

Der Effektivwert wird von Messgeräten angezeigt!

Elektrotechnik – Straub

Zusammenfassung: Kennwerte von Wechselgrößen

Kennwert Definition Formel Für Sinusfunktion
Arithmetischer Mittelwert Zeitlicher Mittelwert über eine Periode
Gleichrichtwert Mittelwert des Betrags
Effektivwert Quadratischer Mittelwert
Elektrotechnik – Straub

Notationskonvention

In diesem Kapitel werden die zeitabhängigen Wechselgrößen mit Kleinbuchstaben bezeichnet:

  • : Spannung
  • : Strom

Großbuchstaben stehen für die zugehörigen Amplituden:

  • : Spannungsamplitude
  • : Stromamplitude
Elektrotechnik – Straub

Zeigerdarstellung

Sinusförmige Wechselgrößen können als rotierende Zeiger in der komplexen Ebene dargestellt werden.

Zeigereigenschaften:

  • Winkelgeschwindigkeit:
  • Länge: (Amplitude)
  • zum Zeitpunkt :
Elektrotechnik – Straub

Komplexe Darstellung

Um Berechnungen zu vereinfachen, können Wechselgrößen als komplexe Größen dargestellt werden. Anstatt mit trigonometischen Funktionen zu rechnen, kann dann die Exponentialfunktion verwendet werden.

Zeitabhängige komplexe Spannung:

Reale Zeitfunktion:

Elektrotechnik – Straub

Komplexe Zahlen: Grundlagen

Imaginäre Einheit (in der Elektrotechnik zur Unterscheidung von Strom als notiert):

Komplexe Zahl:

mit Realteil und Imaginärteil

Elektrotechnik – Straub

Euler’sche Formel

Euler’scher Satz:

Wichtige Spezialfälle:

Elektrotechnik – Straub

Darstellungsformen

Komponentenform (kartesisch):

Polarform (Exponentialform):

Umrechnung:

  • Betrag:
  • Phase:
  • Realteil:
  • Imaginärteil:
Elektrotechnik – Straub

Konjugiert komplexe Zahl

Konjugiert komplexe Zahl :

Eigenschaften:

Elektrotechnik – Straub

Addition und Subtraktion

In Komponentenform:

In Polarform: Umrechnung in Komponentenform notwendig

Addition und Subtraktion erfolgen am einfachsten in Komponentenform!

Elektrotechnik – Straub

Multiplikation

In Polarform:

Beträge multiplizieren, Phasen addieren!

In Komponentenform:

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Division

In Polarform:

Beträge dividieren, Phasen subtrahieren!

In Komponentenform: Erweitern mit konjugiert komplexem Nenner

Elektrotechnik – Straub

📝 Gruppenarbeit: Spannung × Strom

Gegeben:

  • Spannung:
  • Strom:

Aufgaben:

  1. Zeichnen Sie beide Größen als Zeiger im Zeigerdiagramm
  2. Stellen Sie und in kartesischer Form () dar
  3. Wandeln Sie beide um in Polarform ()
  4. Berechnen Sie das Produkt in beiden Darstellungen
  5. Vergleichen Sie die Ergebnisse und diskutieren Sie: Was fällt auf?

Hinweis:

Elektrotechnik – Straub

Wechselstromwiderstände

Elektrotechnik – Straub

Grundelemente im Wechselstromkreis

Die drei Grundelemente im Wechselstromkreis sind:

  • Ohmscher Widerstand R
  • Kapazität C
  • Induktivität L
Elektrotechnik – Straub

Ohmscher Widerstand

Grundgleichung:

Spannungs- und Stromverlauf:

Mit folgt:

Bei ohmschen Widerständen sind Strom und Spannung in Phase.

Elektrotechnik – Straub

Leistung am ohmschen Widerstand

Momentanleistung (für ):

Elektrotechnik – Straub

Mittlere Leistung am ohmschen Widerstand

Berechnung:

Leistung wird ständig verbraucht → Wirkwiderstand

Elektrotechnik – Straub

Wirkleistung und Effektivwerte

Beispiel einphasiges Laden von E-Autos

Ein Elektrofahrzeug wird mit (einphasigem) Wechselstrom bei und geladen.

Berechnung der Wirkleistung:

  • Ladedauer für 40-kWh-Akku: ca. 11 Stunden
  • Falls ->
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Kondensator

Wiederholung

Kapazität definiert als:

Kondensator als Bauteil im Wechselstromkreis

Die Änderung der Ladung ist gegeben durch den Strom :

Elektrotechnik – Straub

Kapazität

Grundgleichung:

Spannungs- und Stromverlauf:

Mit folgt:

Elektrotechnik – Straub

Kapazität - Eigenschaften

Bedingungen für die Gleichheit:

  • Amplituden: bzw.

  • Phasen: bzw.

→ Am Kondensator eilt der Strom der Spannung um voraus.

Elektrotechnik – Straub

Leistung am Kondensator

Momentanleistung (mit und ):

Elektrotechnik – Straub

Leistung am Kondensator - Interpretation

Energiefluss:

  • Positive Leistung: Aufladen des Kondensators
  • Negative Leistung: Entladung des Kondensators

Mittlere Leistung:

→ Blindwiderstand mit kapazitiver Blindleistung:

Elektrotechnik – Straub

Induktivität

Grundgleichung (Selbstinduktion!):

Spannungs- und Stromverlauf:

Mit folgt:

Elektrotechnik – Straub

Induktivität - Eigenschaften

Bedingungen für Gleichheit:

  • Amplituden: bzw.
  • Phasen: bzw.

→ An der Induktivität eilt die Spannung dem Strom um voraus.

Elektrotechnik – Straub

Leistung an der Induktivität

Momentanleistung (mit und ):

Elektrotechnik – Straub

Leistung an der Induktivität – Interpretation

Energiefluss:

  • Positive Leistung: Energie zum Aufbau des magnetischen Feldes
  • Negative Leistung: Energie durch Abbau des magnetischen Feldes

Mittlere Leistung:

→ Blindwiderstand mit induktiver Blindleistung:

Elektrotechnik – Straub

Komplexe Darstellung der Wechselstromwiderstände

Elektrotechnik – Straub

Impedanz & Admittanz

Impedanz (komplexer Widerstand):

Admittanz (komplexer Leitwert):

Elektrotechnik – Straub

Impedanz des ohmschen Widerstands

Elektrotechnik – Straub

Impedanz der Kapazität

Strom eilt der Spannung um voraus:

: kapazitiver Blindwiderstand

: kapazitiver Blindleitwert

Elektrotechnik – Straub

Impedanz der Induktivität

Spannung eilt dem Strom um voraus:

: induktiver Blindwiderstand

: induktiver Blindleitwert

Elektrotechnik – Straub

Zusammenfassung: Impedanzen und Admittanzen der Grundelemente

o. Widerstand R Kapazität C Induktivität L
Impedanz Z
Admittanz Y
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Grundschaltungen linearer Wechselstromwiderstände

Elektrotechnik – Straub

Serienschaltung R und L

Komplexe Maschenregel:

Impedanz:

Admittanz:

Betrag und Phase:

Elektrotechnik – Straub

Parallelschaltung R und L

Komplexe Knotenregel:

Admittanz:

Impedanz:

Betrag und Phase:

Elektrotechnik – Straub

Serienschaltung R und C

Impedanz:

Admittanz:

Betrag und Phase:

Elektrotechnik – Straub

Parallelschaltung R und C

Admittanz:

Impedanz:

Betrag und Phase:

Elektrotechnik – Straub

Übersichtstabelle Grundschaltungen

Schaltung
R-L Serie
R-L Parallel
R-C Serie
R-C Parallel
Elektrotechnik – Straub

Leistung bei Wechselstromverbrauchern

Elektrotechnik – Straub

Rückblick: Leistung an R, L und C

Wir haben bereits gesehen:

Am Widerstand R:

  • (Wirkleistung)
  • Energie wird ständig verbraucht
  • Keine Phasenverschiebung:

Am Kondensator C und an der Induktivität L:

  • (Blindleistung)
  • Energie pendelt zwischen Quelle und Feld
  • Maximale Phasenverschiebung:
Elektrotechnik – Straub

Vom Spezialfall zum Allgemeinfall

Bisher betrachtet:

  • Rein ohmsche Verbraucher ()
  • Rein reaktive Verbraucher ()

In der Praxis:

  • Kombinationen aus R, L und C
  • Beliebige Phasenverschiebung

Beispiele:

  • Motor: R-L-Kombination mit
  • Netzteil: R-C-Kombination
Elektrotechnik – Straub

Der allgemeine Fall

Bisher: Ideale Bauteile (nur R, nur L, nur C)

In der Praxis: Kombinationen mit Phasenverschiebung

Spannung und Strom:

Mit

Frage: Wie berechnet man die Leistung bei beliebiger Phasenverschiebung?

Ziel: Vom Spezialfall (R, L, C einzeln) zum Allgemeinfall (beliebige Kombinationen)

Elektrotechnik – Straub

Momentanleistung mit Phasenverschiebung

Die Momentanleistung bei beliebiger Phasenverschiebung:

Mit trigonometrischer Umformung ():

Die Leistung hat einen konstanten und einen oszillierenden Anteil!

Elektrotechnik – Straub

Zerlegung der Momentanleistung

Mit der Umformung :

Mit Effektivwerten , :

Die Leistung oszilliert mit doppelter Frequenz !

Elektrotechnik – Straub

Allgemeine Definitionen

Aus der Zerlegung der Momentanleistung folgen die allgemeinen Definitionen:

Wirkleistung:

Blindleistung:

Spezialfälle (Wiederholung):

  • (nur R): ,
  • (nur L): ,
  • (nur C): ,
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Wirkleistung P

Die Wirkleistung ist der zeitliche Mittelwert der Momentanleistung:

Allgemeine Formel:

wobei und die Effektivwerte sind.

Einheit: Watt [W]

Grenzfälle:

  • (nur R): (maximal)
  • (nur L oder C):
Elektrotechnik – Straub

Wirkleistung: Bedeutung

Was ist Wirkleistung?

  • Die tatsächlich in Arbeit, Wärme oder Licht umgesetzte Leistung
  • Nur der in Phase mit der Spannung schwingende Stromanteil trägt bei

An ohmschen Widerständen:

Praxisbeispiele:

  • Elektromotor: leistet mechanische Arbeit
  • Heizung: erzeugt Wärme
  • Glühbirne: erzeugt Licht
Elektrotechnik – Straub

Blindleistung Q

Die Blindleistung beschreibt den oszillierenden Energiefluss:

Einheit: Voltampere reactive [var]

Physikalische Bedeutung:

Bei induktiven Verbrauchern (Motoren, Transformatoren):

  • : (positiv)
  • Energie wird im Magnetfeld gespeichert und wieder abgegeben

Bei kapazitiven Verbrauchern (Kondensatoren):

  • : (negativ)
  • Energie wird im elektrischen Feld gespeichert und wieder abgegeben
Elektrotechnik – Straub

Blindleistung: Praktische Bedeutung

Problem:
Blindleistung trägt nicht zur nutzbaren Leistung bei, belastet aber das Netz:

  • Höhere Ströme in Leitungen und Transformatoren
  • Erhöhte Verluste:
  • Spannungsabfälle im Netz

Beispiel: Motor ohne Last

  • Benötigt hauptsächlich zur Magnetisierung
  • Hohe Ströme → Netzbelastung

Konsequenz: Industriekunden zahlen oft Strafgebühren bei hoher Blindleistung

Elektrotechnik – Straub

Scheinleistung S

Die Scheinleistung ist das Produkt der Effektivwerte:

Sie beschreibt die Gesamtbelastung des Netzes.

Zusammenhang mit Wirk- und Blindleistung:

Einheit: Voltampere [VA]

Warum wichtig?

  • Generatoren, Transformatoren, Leitungen müssen für dimensioniert sein
  • Nicht für !
Elektrotechnik – Straub

Scheinleistung: Praxisbeispiel

Transformator mit

Szenario 1: Idealer Verbraucher ()

  • nutzbare Leistung

Szenario 2: Schlechter Leistungsfaktor ()

Verlust: 3 kW Wirkleistung durch Blindleistung!

Der Transformator ist voll ausgelastet (), liefert aber nur 70% nutzbare Leistung.

Elektrotechnik – Straub

Komplexe Scheinleistung

Elektrotechnik – Straub

Motivation

Frage: Wie kann man Wirk- und Blindleistung gemeinsam darstellen?

Idee: Nutze die komplexe Darstellung!

Wir haben:

  • Komplexe Spannung:
  • Komplexer Strom:

Naiver Ansatz:

Problem: Die Phasen addieren sich → falsch!

Wir brauchen die Differenz

Lösung: Konjugiert komplexer Strom

Elektrotechnik – Straub

Warum ?

Konjugiert komplexer Strom:

Produkt:

Jetzt stimmt's! Die Phase ist

In kartesischer Form:

Elektrotechnik – Straub

Beispiel: RL-Reihenschaltung

Gegeben: RL-Reihenschaltung

Spannung:

Komplexe Scheinleistung:

Wichtig: ist reell!

Realteil = Wirkleistung am Widerstand R

Imaginärteil = Blindleistung an der Induktivität L

Elektrotechnik – Straub

Definition der komplexen Scheinleistung

Die komplexe Scheinleistung ist definiert als:

In Polarform:

mit:

  • Betrag: (Scheinleistung)
  • Phase: (Phasenwinkel)

Alternative Darstellungen:

Elektrotechnik – Straub

Leistungsdreieck und Leistungsfaktor

Elektrotechnik – Straub

Leistungsdreieck

Das Leistungsdreieck visualisiert den Zusammenhang

  • Wirkleistung:
  • Blindleistung:
  • Scheinleistung:
  • Phasenwinkel:
Elektrotechnik – Straub

Leistungsdreieck: Praxisbeispiel

Industriebetrieb:

  • Wirkleistung: (Maschinen)
  • Blindleistung: (Motoren)

Berechnung der Scheinleistung:

Phasenwinkel:

Konsequenz:
Der Transformator muss für ausgelegt sein, obwohl nur genutzt werden!

Elektrotechnik – Straub

Leistungsfaktor cos φ

Der Leistungsfaktor gibt an, wie effizient die Scheinleistung genutzt wird:

Wertebereich:

  • : Ideal (rein ohmsch)
  • : Phasenverschiebung
  • : Rein reaktiv

Je höher, desto besser: weniger Strom, weniger Verluste

Elektrotechnik – Straub

Leistungsfaktor: Typische Werte

Verschiedene Verbraucher:

Verbraucher cos φ Bemerkung
Glühbirne ≈ 1,0 Rein ohmsch
Heizung ≈ 1,0 Rein ohmsch
Motor ohne Last ≈ 0,3 Viel Magnetisierung
Motor Volllast ≈ 0,85 Besser, aber nicht ideal
Transformator ≈ 0,8–0,9 Streuinduktivität
Modernes Netzteil (PFC) > 0,95 Mit Kompensation

PFC = Power Factor Correction

Elektrotechnik – Straub

Kostenaspekt: Warum cos φ wichtig ist

Industriekunden zahlen oft Strafgebühren bei

Gründe:

  1. Höhere Ströme → höhere Verluste im Netz ()
  2. Größere Anlagen nötig (Transformatoren, Generatoren)
  3. Spannungsabfälle im Netz

Beispiel:

  • Bei muss fließen
  • Bei nur
  • Stromreduktion um 26%!

Energieversorger fordern:

Elektrotechnik – Straub

Blindleistungskompensation

Elektrotechnik – Straub

Blindfaktor sin φ

Der Blindfaktor gibt den Anteil der Blindleistung an:

Zusammenhang mit Leistungsfaktor:

Bedeutung:

  • Hoher Blindfaktor → viel Blindleistung
  • Niedriger Blindfaktor → wenig Blindleistung

Ziel: Blindfaktor minimieren durch Kompensation

Elektrotechnik – Straub

Blindleistungskompensation: Das Problem

Problem bei induktiven Verbrauchern (Motoren, Transformatoren):

  • Hohe Blindleistung
  • Niedriger Leistungsfaktor
  • Hohe Ströme belasten das Netz
  • Strafzahlungen drohen

Lösung: Blindleistungskompensation

Idee: Kondensatoren parallel schalten

  • Kondensatoren: (kapazitive Blindleistung)
  • Induktivität: (induktive Blindleistung)
Elektrotechnik – Straub

Blindleistungskompensation: Berechnung

Gegeben:

  • Wirkleistung:
  • Ursprünglicher Leistungsfaktor:
  • Ziel-Leistungsfaktor:

Ursprüngliche Blindleistung:

Ziel-Blindleistung:

Benötigte kapazitive Blindleistung:

Elektrotechnik – Straub

Blindleistungskompensation: Praxisbeispiel

Betrieb mit:

  • (Wirkleistung)
  • →

Ursprüngliche Werte:

  • (bei 400 V)

Ziel: (vollständige Kompensation)

Benötigte Kondensatoren:

Elektrotechnik – Straub

Blindleistungskompensation: Ergebnis

Nach Kompensation ():

Verbesserungen:

  • Stromreduktion: von 312 A auf 250 A → 20% weniger
  • Scheinleistung: von 125 kVA auf 100 kVA → 20% weniger
  • Verluste: → 36% weniger Leitungsverluste!
  • Keine Strafzahlungen mehr

Investition in Kondensatoren amortisiert sich schnell!

Elektrotechnik – Straub

Zusammenfassung: Wirk-, Blind- und Scheinleistung

Leistungsart Symbol Einheit Bedeutung
Wirkleistung W (Watt) Tatsächlich umgesetzte/nutzbare Leistung
Blindleistung var Pendelnde Leistung (Auf-/Abbau von Feldern)
Scheinleistung VA (Voltampere) Rechengröße (), für Dimensionierung

Zusammenhang:

Leistungsfaktor:

  • Ziel: möglichst nahe bei 1 (idealerweise > 0,9)
  • Maßnahme: Kompensation mit Kondensatoren
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Wechselstrom: Niederspannung weltweit

Elektrotechnik – Straub

👥 Gruppenarbeit: Westinghouse vs. Edison reloaded

Mit Ihrem jetzigen Wissen über Wechselstrom und Gleichstrom, Wirkleistung und Blindleistung, diskutieren Sie in Ihrer Gruppe die Vor- und Nachteile der beiden Stromsysteme.

  • Edison 💡: Gleichstrom mit 110 V
  • Westinghouse 〜: Wechselstrom mit 110 V, auf längere Strecken transformiert auf > 1000 V

Hinweise:

  • Leitungsverluste (inklusive möglicher Blindleistung)
  • Sicherheit (Spannungshöhe, Isolation)
  • Wirtschaftlichkeit (Infrastruktur, Transformatoren)

Zusatzfrage: würde die Entscheidung heute anders ausfallen?

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Drehstrom

Elektrotechnik – Straub

Drehstrom: Motivation

Warum Drehstrom?

  • Effizientere Energieübertragung über große Entfernungen
  • Höhere Leistung bei gleicher Leitermasse
  • Einfache Erzeugung rotierender Magnetfelder für Motoren
Elektrotechnik – Straub

Anwendungen von Drehstrom

Energieversorgung:

  • Hochspannungsübertragung (110 kV, 380 kV)
  • Verteilnetze (10 kV, 20 kV)
  • Niederspannungsnetze (400 V)

Antriebstechnik:

  • Asynchronmotoren in der Industrie
  • Bahnantriebe
  • Windkraftanlagen

Elektromobilität:

  • Schnellladestationen (bis 350 kW)
Elektrotechnik – Straub

Grundlagen des Drehstromsystems

Dreiphasensystem:

Ein Drehstromsystem besteht aus drei sinusförmigen Wechselspannungen gleicher Amplitude und Frequenz, die um 120° phasenverschieben sind.

Zeitfunktionen:

Komplexe Darstellung:

Elektrotechnik – Straub

Rotierende Leiterschleife im Magnetfeld

Prinzip der Wechselspannungserzeugung:

Eine rechteckige Leiterschleife (Fläche ) rotiert mit konstanter Winkelgeschwindigkeit in einem homogenen Magnetfeld .

Magnetischer Fluss durch die Schleife:

Induzierte Spannung (Faraday'sches Induktionsgesetz):

Amplitude:

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Vom Wechselstrom zum Drehstrom

Eine Leiterschleife: Sinusförmige Wechselspannung

Drei Leiterschleifen um 120° versetzt:

Drei identische Wicklungen sind räumlich um jeweils 120° versetzt auf dem Rotor angeordnet.

Ergebnis: Dreiphasiges Drehstromsystem

Elektrotechnik – Straub

Erzeugung von Drehstrom

Drehstromgenerator:

Ein Drehstromgenerator hat drei um 120° versetzte Wicklungen, die sich in einem rotierenden Magnetfeld befinden.

Funktionsprinzip:

  • Rotor dreht sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit
  • In jeder Wicklung wird eine Spannung induziert
  • Die drei Spannungen sind zeitlich um 120° versetzt
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Symmetrisches Dreiphasensystem

Aufbau:

  • Drei Außenleiter (L1, L2, L3) – oft als Phasen bezeichnet
  • Ein Neutralleiter (N) – auf Erdpotential

Bezeichnungen:

  • : Sternspannung
  • : Dreieckspannung
  • : Außenleiterstrom
  • : Strom im Neutralleiter
Elektrotechnik – Straub

Maschengleichungen

Die Dreieckspannungen (Außenleiterspannungen) ergeben sich aus den Differenzen der Sternspannungen:

Außerdem:

Elektrotechnik – Straub

Zeigerdiagramm

Die Sternspannungen sind um 120° versetzt.

Die Dreieckspannungen ergeben sich als Differenzen.

Zusammenhang zwischen Stern- und Dreieckspannung:

(Grafische Herleitung)

Wichtig:

  • Dreieckspannungen sind um 30° gegenüber den Sternspannungen gedreht
Elektrotechnik – Straub

Herleitung der Beziehung

Gegeben: ,

Berechnung:

Betrag:

Elektrotechnik – Straub

Beispiel: Öffentliches Stromnetz

Niederspannungsnetz in Deutschland:

  • Sternspannung (Phase gegen Neutralleiter):

  • Dreieckspannung (zwischen zwei Außenleitern):

Haushalte:

  • Einphasige Verbraucher: 230 V (L1-N, L2-N oder L3-N)
  • Drehstromverbraucher: 400 V (L1-L2-L3)
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Symmetrische Verbraucher

Definition:

Alle drei Verbraucherstränge sind mit dem gleichen Widerstand belastet:

Konsequenzen:

  • Alle Ströme haben den gleichen Betrag
  • Phasenverschiebung zwischen den Strömen: 120°
  • Neutralleiterstrom ist null:
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Verbraucher in Sternschaltung

Eigenschaften:

  • Strangströme = Außenleiterströme
  • Strom durch Neutralleiter = 0 (bei symmetrischer Last)

Elektrotechnik – Straub

Verbraucher in Dreieckschaltung

Eigenschaften:

  • Strangspannungen = Dreieckspannungen
  • Zusammenhang zwischen Außenleiter- und Strangströmen:

Elektrotechnik – Straub

Vergleich Stern- und Dreieckschaltung

Übersichtstabelle:

Größe Sternschaltung Dreieckschaltung
Strangspannung
Strangstrom
Außenleiterstrom
Neutralleiter Vorhanden (kann entfallen bei symmetrischer Last) Nicht vorhanden
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Leistung im Drehstromsystem

Elektrotechnik – Straub

Leistung pro Strang

Für symmetrische Verbraucher:

Jeder der drei Stränge nimmt die gleiche Leistung auf.

Scheinleistung pro Strang:

Wirkleistung pro Strang:

Blindleistung pro Strang:

wobei die Phasenverschiebung zwischen Strang-Spannung und Strang-Strom ist.

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Gesamtleistung

Die Gesamtleistung ist die Summe der Leistungen aller drei Stränge:

Scheinleistung:

Wirkleistung:

Blindleistung:

Gilt für Stern- UND Dreieckschaltung!

Elektrotechnik – Straub

Leistung in Sternschaltung

Gegeben:

  • Sternspannung:
  • Strangstrom = Außenleiterstrom:

Gesamtleistung:

Mit folgt:

Elektrotechnik – Straub

Leistung in Dreieckschaltung

Gegeben:

  • Dreieckspannung:
  • Strangstrom:

Gesamtleistung:

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Allgemeine Leistungsformel

Für symmetrische Drehstromverbraucher gilt unabhängig von der Schaltungsart:

wobei:

  • : Dreieckspannung (Außenleiterspannung)
  • : Außenleiterstrom
  • : Phasenverschiebung zwischen Strang-Spannung und Strang-Strom

Hinweis: Oft wird einfach als geschrieben.

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Drehstrom-Blindleistungskompensation

Problem:
Drehstrommotoren haben oft einen niedrigen Leistungsfaktor ().

Lösung:
Kompensationskondensatoren in Stern- oder Dreieckschaltung

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Kapazität bei Sternschaltung

Sternschaltung der Kondensatoren:

Am Kondensator liegt die Sternspannung an.

Blindleistung pro Kondensator:

Gesamte Blindleistung:

Benötigte Kapazität pro Kondensator:

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Kapazität bei Dreieckschaltung

Dreieckschaltung der Kondensatoren:

Am Kondensator liegt die Dreieckspannung an.

Blindleistung pro Kondensator:

Gesamte Blindleistung:

Benötigte Kapazität pro Kondensator:

Elektrotechnik – Straub

Vergleich Stern- und Dreieckschaltung der Kondensatoren

In der Sternschaltung gilt , also:

Interpretation:

  • Bei Sternschaltung: höhere Kapazität erforderlich
  • Bei Dreieckschaltung: niedrigere Kapazität, aber höhere Spannungsbelastung

Praxis:

  • Sternschaltung bei höheren Spannungen (Spannungsbelastung nur )
  • Dreieckschaltung bei niedrigeren Spannungen
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Vorteile des Drehstromsystems

Gegenüber einphasigem Wechselstrom:

  1. Effizientere Energieübertragung

    • Bei gleicher Leistung geringere Leiterverluste
    • Materialeinsparung bei Leitungen

  2. Konstante Leistungsabgabe

    • Summe der Momentanleistungen ist konstant
    • Gleichmäßigerer Lauf von Motoren

  3. Einfache Erzeugung von Drehfeldern

    • Drehstrommotoren ohne Anlaufhilfe
    • Robuster Aufbau
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Schaltvorgänge an Kapazitäten und Induktivitäten

  • Einschaltvorgang und Ausschaltvorgang von Kapazitäten
  • Einschaltvorgang und Ausschaltvorgang von Induktivitäten
Elektrotechnik – Straub

Einschaltvorgang: Kondensator

Schalterstellung:

üü

Für t > 0 gilt (Maschengleichung):

Gesucht:

Elektrotechnik – Straub

Aufladevorgang: Lösung

Lösung der Differentialgleichung:

Anfangs- und Endwerte:

  • ,
  • ,

Zeitkonstante:

Elektrotechnik – Straub

Ausschaltvorgang: Kondensator

Schalterstellung:

üü

Für t > 0 gilt (Maschengleichung):

Elektrotechnik – Straub

Entladevorgang: Lösung

Lösung der Differentialgleichung:

Anfangs- und Endwerte:

  • ,
  • ,

Zeitkonstante:

Elektrotechnik – Straub

Einschaltvorgang: Induktivität

Schalterstellung:

üü

Für t > 0 gilt (Maschengleichung):

Gesucht:

Elektrotechnik – Straub

Aufbau des Magnetfeldes: Lösung

Lösung der Differentialgleichung:

Anfangs- und Endwerte:

  • ,
  • ,

Zeitkonstante:

Elektrotechnik – Straub

Ausschaltvorgang: Induktivität

Schalterstellung:

üü

Für t > 0 gilt (Maschengleichung):

Elektrotechnik – Straub

Abbau des Magnetfeldes: Lösung

Lösung der Differentialgleichung:

Anfangs- und Endwerte:

  • ,
  • ,

Zeitkonstante:

Elektrotechnik – Straub

Beispiel 1: Kondensator-Entladung

Aufgabe:

Ein Kondensator wird über einen Widerstand entladen.

In welcher Zeit ist die Spannung am Kondensator auf 10% des ursprünglichen Wertes gesunken?

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Beispiel 2: Pufferkondensator

Aufgabe:

Der Datenspeicher eines Taschenrechners (Lastwiderstand ) soll während des Batteriewechsels aus einem Kondensator gespeist werden.

Gegeben:

  • Batteriespannung:
  • Batteriewechselzeit:
  • Minimale Versorgungsspannung:

Gesucht: Dimensionierung von

Elektrotechnik – Straub

Freilaufdioden

Problem bei Induktivitäten:

Beim Abschalten einer Spule mit Strom entsteht eine hohe Induktionsspannung

  • Bei schnellem Abschalten können sehr hohe Spannungen entstehen
  • Diese können Schaltkreise beschädigen (z.B. Transistoren, Relais)

Lösung: Freilaufdiode

  • Parallel zur Induktivität wird eine Diode geschaltet
  • Beim Abschalten kann der Strom durch die Diode weiterfließen
  • Gespeicherte Energie wird kontrolliert abgebaut
Elektrotechnik – Straub